Números curiosos

Me pasó cuando estudiaba la carrera y me sigue pasando cada vez que le digo a alguien que estudié Ciencias Matemáticas ("Exactas" para los más mayores). Que todo el mundo asume que, en los cinco años de carrera (ahora el grado son 4), nos debíamos pasar todo el rato haciendo complejas operaciones con números y calculando ristras de decimales... Nada más lejos de la realidad. Ecuaciones, funciones, incógnitas, espacios, vectores, teoremas, axiomas, corolarios... todos los que quieras, pero números...pocos. 

(Creo recordar que sólo utilicé una calculadora, como la de la foto, en la asignatura de Investigación Operativa, en 4º de carrera, cuando se trataba de resolver un problema de Programación Lineal mediante el método Simplex).

El caso es que a todos los matemáticos de formación se nos asume una destreza con los números que, no lo voy a negar, se puede dar en muchos casos, pero no por lo que practicamos durante la carrera... (quizá era una habilidad previa que determinó la elección: "se le dan bien los números... que estudie Matemáticas").

Todo este preámbulo viene a que en este post quiero compartir 4 casos curiosos de números y/o operaciones. No invento nada; toda la información está disponible en la red, pero, como siempre, creo que aportaré una exposición más didáctica, o, al menos, entretenida. 

Empiezo por la operación 1/998,001. ¿A quién no se le ocurre pensar cada día en esta división ("IroníaOn")? Si lo haces en tu calculadora de mano o en una celda de Excel, como resultado te saldrá, dependiendo de la precisión, algo así: 0,00100200300400501 Que es curioso, porque parece que sigue una pauta: 001 002 003 004 005... Pero lo "flipante", como se dice ahora, es que, si buscas una herramienta que te permita ampliar de manera significativa el número de decimales (las hay disponibles online), y haces la prueba con... 3.000 decimales ("metidos en gastos, zapatos de hombre"), este es el resultado: 

Efectivamente; la secuencia continúa 006 007 008... sin saltos hasta que, en la última línea, la que empieza por (9)87 988 989... llega a 997 y salta a 999. ¿Qué ha pasado con el 998? Pues no hay respuesta; misterios de la numerología (quizá Iker Jiménez la encuentre). Pero... como diría un artista de circo, "más difícil todavía"... Ya que tenemos una calculadora que nos permite ampliar el número de decimales, ¿qué resultado daría esta misma división con 6.000 cifras decimales? No reproduzco el resultado, porque ocupa mucho espacio, pero, créeme, ese 001 que se ve al final de la última línea en el resultado de arriba es el comienzo de otra secuencia 001 002 003.... 997 999. Idéntica. Con el 998 "missing".

Imitando al incrédulo Santo Tomás, he hecho la prueba con 9.000 decimales por si acaso, y se vuelve a repetir la misma secuencia, por lo que podemos inferir que el resultado de esta división es un número decimal periódico, con un periodo (que se repite indefinidamente) de 2.994 (998*3) dígitos. 

(Curiosidades relacionadas: la división 1/81 también da un resultado curioso: 1/81= 0.012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679012... Vaya, parece que alguien le tiene manía al 8. Y, para rematar: 1/9 = 0.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111... Que 81 sea 9*9 y que 998001 sea 999*999 te puede dar una pista de por dónde empezar a buscar una explicación)

Seguimos con otro número curioso. Éste tiene "nombre", en honor a su "descubridor", el matemático hindú Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986):

Es el número 6174 y se conoce como "la constante de Kaprekar".

¿Cuál su particularidad? Pues que es el resultado que da siempre al aplicar a cualquier número de 4 cifras (que no sean todas iguales) el siguiente algoritmo: 

1.-  Se elige un número cualquiera de cuatro dígitos.

2.-  Se construye un número (a partir del original) ordenándose los dígitos de mayor a menor en sentido decreciente.

3.-  Se construye un número (a partir del original) ordenándose los dígitos de menor a mayor en sentido creciente e incluyendo los ceros existentes a la izquierda del número.

4.-  Se realiza la resta de los dos últimos números construidos, añadiendo al resultado los ceros correspondientes por la izquierda si tuviera menos de cuatro dígitos hasta completar dicha cantidad.

5.-  Se repite el proceso (pasos 2-3-4) con dicho resultado como nuevo número hasta llegar a la constante de Kaprekar.

(Y esto se consigue en un máximo de siete iteraciones)

Lo vemos mejor con un ejemplo, empezando con el número 3962:

Lo curioso es que, si en lugar de números de 4 dígitos hacemos el mismo algoritmo con números de 3 dígitos, llegamos también a un "número mágico": 495. Otra "constante de Kaprekar".

Y, si buscas una demostración de por qué esto es así, todavía no la tenemos: 

"Hasta ahora, nadie ha podido afirmar que la consecución de un único núcleo para números de tres y cuatro dígitos sea un fenómeno incidental. Esta propiedad parece tan sorprendente que nos lleva a pensar que se esconde tras ella un gran teorema de la teoría de números".

Y vamos con el tercer número curioso: 142857. Así, a primera vista no parece nada especial... pero a alguien se le ocurrió empezar a multiplicarlo:

142857*2 = 285714  So what? Nada, salvo que son las mismas cifras desplazadas 2 posiciones

142857*3 = 428571  ¡Anda! Otra vez las mismas cifras pero en otro orden.

142857*4 = 571428 ¡Lo mismo!

142857*5 = 714285 ¡Ya te digo!

142857*6 = 857142 ... 

Pero... 142857*7 = 999999  Se rompió la secuencia (y te da la pista de que 999999/7 = 142857)

Los matemáticos llaman a los números con esta propiedad "números cíclicos". Si damos por bueno que un número comience por 0, los siguientes números cíclicos serían:

El número cíclico de 16 dígitos (empieza por 0)

0588235294117647 (16 dígitos)

052631578947368421 (18 dígitos)

0434782608695652173913 (22 dígitos)

Si no, el único número cíclico es nuestro amigo 142857. 

Y ya que tenemos a mano la calculadora de muchos decimales, mira el resultado de 

1.000.000/7= 142857.142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857... 

Y terminamos con el 1729. 

Es curioso que, en la disciplina de "Teoría de números", han destacado muchos matemáticos hindúes. Quizá el más conocido es Srinivāsa Rāmānujan (1887-1920) del que incluso se hizo una famosa película en 2014: "Ramanuján, el hombre que conocía el infinito". 

En relación con el número 1729 se cuenta esta anécdota: 

El matemático británico G.H. Hardy  fue a visitar a Ramanuján, que estaba ingresado en un hospital en Putney. Recuerda Hardy: "Había viajado en el taxi número 1729 y mencioné que me parecía un número poco notable, y que esperaba que esto no fuera un mal presagio. "No", me respondió Ramanuján, "es un número muy interesante; es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes". 

O sea: 1³ + 12³ = 9³ + 10³ = 1.729

Hay otros números que se pueden expresar como suma de dos cubos de dos maneras diferentes, pero 1.729 es el menor:

• 2³ + 16³ = 9³ + 15³ = 4.104
• 10³ + 27³ = 19³ + 24³ = 20.683
• 2³ + 34³ = 15³ + 33³ = 39.312
• 9³ + 34³ = 16³ + 33³ = 40.033

A partir de entonces, se denomina número de Hardy-Ramanujan (o "taxicab" en referencia a la anécdota que hemos comentado) al menor entero natural que se puede expresar como la suma de dos cubos de "n" maneras diferentes. Por lo tanto, 1729 sería el taxicab de 2, que lo escribimos Ta(2).

Por ejemplo el taxicab de 3 maneras:

Y el taxicab de 4:

Están identificados los Ta(5) y Ta(6). A partir de ahí, solo se ha podido establecer un límite superior.

Si pasamos a la cuarta potencia, el más pequeño de los números descomponibles de dos maneras diferentes como suma de dos potencias a la cuarta es 635.318.657, y fue descubierto por el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783), al que también debemos el famoso número e y la elegante "identidad de Euler": .

• 158⁴ + 59⁴ = 133⁴ + 134⁴ = 635.318.657

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Uffffff..... creo que es suficiente por hoy... Me voy a ver "Cifras y Letras"... :-)))

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