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Hace dos semanas asistí, en la Fundación Telefónica, a la presentación del libro "La lira desafinada de Pitágoras - Cómo la música inspiró a la ciencia para entender el mundo" (HarperCollins 2022), de Almudena Martín Castro. No conocía a la autora ni sus trabajos anteriores, pero he de reconocer que el título me pareció muy sugestivo. Y allí que me fui. La presentación fue muy interesante: Almudena es una muy buena comunicadora, maneja con destreza el escenario y los audiovisuales, y el coloquio posterior fue muy entretenido.

Tras leer el libro (se lee fácil), he de decir que me ha resultado muy revelador. Quizá algo intuía, pero no era consciente de hasta qué punto la Música, la Física y las Matemáticas están tan inter-relacionadas. Recomiendo vivamente leer el libro, pero, con el permiso tácito de la autora (y, espero, su benevolencia ante posibles errores o inexactitudes), y ateniéndome al propósito de este blog ("divulgar entreteniendo") voy a ir comentando en algunos posts las cosas que me han parecido más "curiosas". 

En primer lugar, recordar (sí, lo estudiamos en el Bachillerato, pero yo lo tenía muy olvidado) que, en "La República", Platón, recogiendo la tradición que se remontaba a Pitágoras, proponía estas cuatro materias como parte fundamental del currículum: Aritmética, Geometría, Astronomía y Música. Que quedarían recogidas en el "Quadrivium" medieval, junto con el "Trivium" (Gramática, Lógica y Retórica).

Que precisamente los pitagóricos manejaban una noción "amplia" de las Matemáticas, en el sentido de que "todas las cosas son, en esencia, números". Así describía Aristóteles los principios pitagóricos un siglo después: "Nutridos de ella (la matemática), creyeron que su principio fuera el de todas las cosas. Ya que los números, por su naturaleza, son los primeros que se presentan en ella, les pareció observar en los números semejanzas con los seres y con los fenómenos, mucho más que en el fuego, o en la tierra o en el agua y como también veían en los números las determinaciones y las proporciones de las armonías y como, por otra parte, les parecía que toda la naturaleza estaba por lo demás hecha a imagen de los números, y que los números son los primeros en la naturaleza, supusieron que los elementos de los números fuesen los elementos de todos los seres y que el universo entero fuese armonía y número. Y todas las concordancias que podían demostrar en los números y en las armonías con las condiciones y partes del universo y con su ordenación total, las recogieron y coordinaron."

Y entramos en la relación entre Música y Matemáticas. Que, si has estudiado Música, probablemente lo que voy a comentar sean cosas evidentes para ti, pero para mí, que, en todo caso, soy "músico de oído", han sido un descubrimiento. 

Monocordio del siglo XIX (con 2 cuerdas metálicas)

Resulta que Pitágoras (o alguien de su grupo) construyó un instrumento musical muy sencillo, el monocordio, compuesto, como su propio nombre indica, por una sola cuerda, de nervio o tripa de animal, y una caja de resonancia. El caso es que pisando con el dedo esa cuerda por la mitad (o poniendo un caballete de madera), y pulsando una de las partes, el sonido resultante era similar al de la cuerda completa, pero más alto (lo que hoy diríamos una "octava" más alto). Proporción 2:1. 

El inquieto pitagórico siguió con sus experimentos: si ahora dividía la longitud de la cuerda en 3 partes, y pisaba con el dedo en el primer "tercio", el sonido resultante al pulsar la parte más larga (2/3) "combinaba" bien con el original (hoy diríamos que es un sonido "de quinta", porque entre la nota original y ésta hay 5 notas). Proporción 3:2. Quizá se entiende mejor con este diagrama:

De igual forma, el sonido "de cuarta" sería el resultante de pulsar la parte larga con el dedo colocado en el primer cuarto. Proporción 4:3. 

Así se estableció la primera ley natural formulada de manera matemática, la que relacionaba el tono musical con la longitud de la cuerda que lo produce.

Como los pitagóricos eran amantes de los números enteros, buscaron la forma de que todas las "notas" de una octava estuvieran representadas por quebrados de números enteros, concretamente (uso la denominación moderna de las notas):

Do - 1   Re - 9/8   Mi - 81/64   Fa - 4/3   Sol - 3/2   La - 27/16   Si - 243/128   Do - 2

Ya se ve que la fracción 9/8 tiene mucho protagonismo aquí. Pero no en todos los intervalos. Si vemos la representación gráfica, hay 5 intervalos iguales y otros dos más pequeños:

(Del blog Enchufa2)

Y si, con paciencia, recuerdas la multiplicación de quebrados y calculas: (9/8) x (9/8) x (256/243) x (9/8) x (9/8) x (9/8) x (256/243) verás que el resultado es exactamente 2. (Te resultará más fácil si tienes en cuenta que (256/243) = (8/9)(8/9)(4/3))

Pues ya tenemos una escala de 7 "notas", donde hay algunas que están separadas por lo que llamaremos "tono" y otras por un intervalo menor, el "semitono". En realidad, hay un pequeño truco aquí porque el cuadrado de (256/243) es 1,1098, mientras que 9/8 es 1,1250. Pero los pitagóricos pudieron vivir con ese pequeño "descuadre". Tuvieron que pasar 20 siglos hasta que un matemático alemán propusiera una solución.

Según cuenta Almudena, fue Michael Stifel, en su libro "Arithmetica integra" de 1544, quien se preguntaba cómo dividir un intervalo de un tono (proporción 9:8) en dos mitades musicalmente iguales. Dicho de otra manera, Stiefel buscaba el sonido intermedio entre un Do y un Re, eso que hoy llamamos Do# (o entre un Mi y un Fa, o entre un Si y un Do). La solución pasaba por usar números irracionales, en concreto la raíz cuadrada (concepto que obviamente ya conocían los pitagóricos, pero que no encajaba con su visión "racional" del mundo). Si coges la calculadora "científica" y pones raíz cuadrada de 9/8 te sale: 1,060660171779821... (por contra, 256/243= 1,05349794, que es una buena aproximación, pero no "exacta", como ya hemos visto más arriba. Y puestos a ser quisquillosos, la solución exacta para que el producto de 12 intervalos fuera exactamente 2 debería haber sido la raíz 12 de 2: 1,0594630...).

Pues ya tenemos la escala de 12 "sonidos" que podemos reconocer en el teclado de un piano:

7 teclas blancas y 5 negras en una octava. Las negras corresponden a los semitonos (#-sostenidos, si subes, o b-bemoles, si bajas) de las notas que está separadas por un tono.

Diapasón antiguo de hierro, marcado con la letra A (La)

La afinación de los instrumentos musicales, ya con esta base, se hizo primero "de oído", supongo que en base al criterio y a la experiencia del afinador. El resultado era que, a lo largo de Europa, variaba grandemente. Incluso dentro de una misma iglesia, a lo largo del tiempo, la afinación podía variar debido a la manera en que se afinaban los órganos. El siguiente paso fue el uso del diapasón, inventado en 1711 por el músico británico John Shore, sargento trompetista y laudero en la corte de Ana Estuardo. 

Analizando los diapasones que se han conservado desde esa época, se ve cómo la nota correspondiente al "La" (A en notación inglesa), que era la que se usaba (y se sigue usando) para comenzar el proceso de afinación, ha abarcado una horquilla bastante amplia. En términos de herzios, que es la medida electromagnética actual de frecuencias, tenemos, desde los 422,5 Hz del diapasón que se atribuye a Händel (1740) a los 451 Hz de un diapasón de la Scala de Milán.

A finales del siglo XIX y comienzos del XX, la frecuencia de afinación fue convergiendo hacia el rango alto de este intervalo, y fue en 1936 cuando una conferencia internacional recomendó que el "La" encima del "Do" central se afinara a 440 Hz. El estándar fue aceptado por la Organización Internacional de Estandarización en 1955 (y fue reafirmado por ellos en 1975) como ISO 16.

Ahora entiendes el título del post, y seguramente también por qué el grupo que acompañaba al dominicano Juan Luis Guerra se llamaba 4.40 (*). 

Para mis amigos físicos e ingenieros, esta es la afinación exacta de cada nota en este estándar (aquí se puede comprobar que el cociente entre dos semitonos cualquiera es la raíz 12 de 2. Por ejemplo: 440,0 / 415,304698 = 1,05946309):

Pues hasta aquí este primer post inspirado en el libro de Almudena. Habrá más, pero después del verano. Mientras tanto, os dejo con dos preguntas (sospecho que están relacionadas, pero todavía no tengo las respuestas):

1) ¿Por qué en la notación musical anglosajona, que emplea las letras del alfabeto A-B-C-D-E-F-G, la letra A corresponde al "La" (y no al "Do")?

2) Por qué los diapasones se construían, en su gran mayoría, para reproducir la nota "La"?

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También en el afinador electrónico aparece
"la 440"

(*) El nacimiento del grupo 4.40 se remonta al encuentro de cuatro músicos en 1984: Maridalia Hernández, Mariela Mercado, Roger Zayas-Bazán y Juan Luis Guerra. Fue llamado así, como hemos visto, en referencia a la afinación musical estándar. Guerra afirma que ese patrón de afinación exige al artista dar lo mejor. 

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