π,c,G: 3 constantes universales que dan qué pensar...

(Banda sonora: Pi´s Lullaby ("Nana de Pi") de la película "La vida de Pi" (2012), música de Mychael Danna, aquí).
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Los primeros dígitos de π

Si vas a la calculadora del móvil (o a la de mesa) y divides 355 entre 113, ¿qué te da? Pues, depende del número de decimales que muestre; en la mía : 3,1415929. ¿A qué te suena? Pues al 3,1416 que en el colegio nos enseñaron como valor aproximado de π. Lo curioso es que que este cociente de dos números enteros fue propuesto por el matemático chino Zu Chongzhi en el siglo V. Algunos siglos antes, el famoso Arquímedes propuso, no un valor, sino un rango: 3+(10/71) < π < 3+(1/7), que, si hacemos los cálculos sitúan a π entre 3,140845 y 3,142857. No está mal para la Grecia del siglo III a.C. 

El caso es que, desde los tiempos clásicos, ya se sabía que la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era un número curioso. Un número constante, independiente del tamaño de la circunferencia (eso sí, dentro del marco de referencia de la geometría euclidiana). No sabemos cómo llamaron los clásicos a ese número (la primera mención aparece en el papiro del escriba egipcio Ahmes, hacia 1900 a.C.). Fue en el siglo XVIII cuando, gracias al matemático Euler, se generalizó designar a ese número con el nombre de π, usando la primera letra de la palabra griega que significaba "perímetro" (περίμετρον). 

En 1761, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) demostró que π es un número irracional (no se puede obtener como cociente de dos números enteros), y, desde entonces, empezó una carrera por calcular y explicitar sus cifras decimales. En la actualidad, utilizando la potencia de los superordenadores más avanzados, ya se han calculado 5 billones de dígitos, y la carrera continúa.

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Esquema del método utilizado por Romer para medir la velocidad de la luz

Pasamos a otra constante universal interesante. Desde que  Einstein formulara su Teoría de la Relatividad,  todos aprendimos que , donde esa c (del latín "celeritas") es la velocidad de la luz. Que ahora sabemos (o para ser más precisos, nos dicen) que es 299.792.458 metros/segundo. Tal cual, ni un metro arriba ni un metro abajo. Y que es una constante imposible de superar. Claro que el calcularla con tanta precisión llevó su tiempo: fue Ole Rømer quien, en 1676, empezó a aproximarse, observando la diferencia de tiempo entre la rotación del satélite Io alrededor de Júpiter cuando la Tierra se hallaba en extremos opuestos de su distancia al gran planeta. A partir de sus observaciones, Christian Huygens calculó para la luz una velocidad de 220.000.000 metros/segundo. Que era un 27% menos de la real, pero que, para la época, era una velocidad inmensa, difícil de asimilar. 

En 1862 Léon Foucault, utilizando la técnica de Hippolyte Fizeau de los espejos en rotación, propuso 298.000.000, bastante más cerca, y, en 1926, Albert A. Michelson con la misma técnica pero con dos puntos de medición más alejados se acercó bastante más, hasta los 299.796.000.

Una vez asumido este valor para la velocidad de la luz, pudimos poner "distancias" al Universo. Y decir que la estrella más cercana a la Tierra, Próxima Centuri, se encuentra a 4,2 años-luz; que el centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, está a 25.766 años-luz, y que la galaxia Andrómeda, visible a simple vista en una noche despejada, está a 2.600.000 años-luz. Y que los confines del Universo observable se encuentran a 46.500 millones de años-luz.

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Representación del campo gravitatorio de la Tierra

La tercera constante universal que vamos a tratar fue identificada por Isaac Newton (1642-1727) en 1685, cuando formuló su conocida ley de gravitación universal:  "La interacción gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa". 

Puesto en  fórmula :  

Y ahí aparece esa G, la constante universal de gravitación.
Pero hubo que esperar más de un siglo, hasta 1798, para que Henry Cavendish calculara el valor de dicha constante:  

(Para entender esta fórmula, a mí me ha servido el ejemplo de calcular cuál es el peso (=fuerza de atracción) de una persona cuya masa sea de 80 Kgs. en la superficie de la Tierra. En este caso:
m1= 5,98 * 10E24 Kgs  (masa de la Tierra)
m2= 80 Kgs (masa de la persona)
r = 6.378.280 metros (radio de la Tierra)
G= 6,67 * 10 E-11
Aplicando la fórmula, nos da que F= 784,3 Newtons, y teniendo en cuenta que 1 Newton = 9,8 Kilopondios --> el peso de esa persona en la superficie de la Tierra sería de 784,3/ 9,8 = 80,0 Kgs. ¡Justo lo que esperábamos!
El que se anime, puede calcular cuánto pesaría esa misma persona en la superficie de Mercurio, teniendo en cuenta que la masa de Mercurio m1= 3,3 * 10E23 Kgs y que el radio de Mercurio es r= 2.440.000 metros. Pista= debería daros unos 30 Kgs.)

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Y ahora viene lo más curioso. La que se conoce como "constante de gravitación de Einstein", formulada en 1905, es:

  

Esta constante es (lo copio tal cual) el factor de proporcionalidad entre el tensor de curvatura de Einstein (que es una medida de la intensidad del campo gravitatorio) y el tensor energía-impulso de la materia que provoca el campo. 

Y vemos cómo las tres constantes que hemos comentado, π, c y G, se combinan para dar esta nueva constante. Y digo yo, ¿qué tendrá que ver 1) la relación de una circunferencia a su diámetro con 2) la velocidad de la luz y 3) la atracción gravitatoria? ¿y por qué hay que multiplicar por 8 y no por, digamos, 7,98974? Maravillas de la Física.

La constante de gravitación de Einstein en la fórmula general de la Relatividad

Además de las tres mencionadas, hay unas 20 constantes en la naturaleza: masa del electrón, carga del protón, constante cosmológica, constante de Planck, número de Avogadro, constante de Boltzmann, constante de Faraday, impedancia característica en el vacío, permitividad en el vacío, permeabilidad magnética en el vacío, etc...  

Evidentemente, muchas mentes preclaras a lo largo de la historia se han preguntado el porqué de estas constantes, y por qué sus valores son esos y no otros. En su libro de reciente publicación, "Lo que no podemos saber" (Editorial Acantilado, 2018), el matemático inglés Marcus du Sautoy  dice: "En el modelo del "multiverso" hay multitud de universos diferentes, y en cada uno de ellos las constantes fundamentales estarían asignadas al azar. En la mayoría de los casos estos universos no tendrían mucho futuro, ya que las constantes no constituyen en conjunto un entorno favorable para prosperar. Pero en unos pocos, las constantes son las óptimas para que los átomos puedan combinarse de un modo que acabe favoreciendo la vida. Por supuesto, para que podamos ver todo esto, tenemos que estar en uno de estos universos especiales".

Es lo que se conoce como "principio antrópico" : "vemos el universo en la forma que es, porque nosotros existimos".  Sensu contrario: si las constantes hubieran sido otras, lo más probable es que no estaríamos aquí como especie "inteligente" para preguntarnos nada. O sea que, no le des más vueltas, y vete aprendiendo decimales de π  (éstos son sólo los primeros 1500): 

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956    9092721079    7509302955

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Posdata: El chaval hindú protagonista de la película "La vida de Pi" (interpretado por Suraj Sharma) se llama, en principio, Piscine Molitor Patel (no desvelo aquí por qué). Pero, harto de que se rían de él por ese ridículo nombre (por similitud fonética, en el colegio le llaman "Pissing", "haciendo pis"), un día memoriza cientos de dígitos del número π, deja asombrados a su profesor y compañeros de clase y quiere que, a partir de entonces, se le llame así ("Pi").
Aunque la cuestión de π sólo aparece al principio, es una película original y sorprendente.