385: El número "mágico" de las encuestas

La cruda realidad

Siempre que se acercan procesos electorales y empiezan a publicarse todo tipo de encuestas con las predicciones de voto, surge en las tertulias de amigos la misma pregunta. Oye, ¿a ti te han preguntado alguna vez lo que vas a votar? Porque, lo normal, es que a ninguno del grupo le haya "tocado" la encuesta. Igual reflexión y conclusiones surgen cuando se trata de las audiencias televisivas: nadie conoce a nadie que tenga un medidor de audiencia instalado en su televisor, lo cual basta para inspirar bastante desconfianza en sus resultados.

Y ésto, ¿a qué se debe? ¿nos engañan como a chinos o hay un soporte matemático detrás que lo avale? Pues, para tranquilidad de todos, en este caso es lo segundo. Me anticipo a la conclusión: Cuando se trata de estimar, en un colectivo suficientemente grande (más de 100.000 individuos), la proporción de los mismos que siguen una cierta pauta (los que piensan votar a determinado partido político, los que están viendo un programa de televisión a cierta hora, los que prefieren una marca de champú específica, etc...) con un margen de error pequeño (normalmente el 5%) y un nivel de confianza alto (p.ej. del 95%), basta con una muestra aleatoria bastante pequeña. En concreto, 385 individuos. ¿Sorprendente? Veamos cómo se llega a este resultado.

Hemos hablado de dos conceptos: margen de error y nivel de confianza, que a veces se confunden. Vamos a utilizar un ejemplo para entenderlo bien. Supongamos que queremos estimar el número de españoles entre 25 y 65 años que fuman habitualmente. 

Un margen de error del 5% nos diría que, si como consecuencia de la encuesta el resultado que se obtiene es el 30% (supongamos que eso fueran 9 millones), significaría que la realidad estaría entre el 25% (7,5 millones) y 35% (10,5 millones).

Un nivel de confianza del 95% expresa la certeza de que realmente el dato que buscamos esté dentro del margen de error. En el ejemplo anterior, sería que, si repitiéramos muchas veces la encuesta a muestras aleatorias diferentes, en el 95% de los casos el % de fumadores estaría entre el 25% y el 35%. 

El que las muestras sean aleatorias es el verdadero quid de la cuestión, y lo que trae de cabeza a los encuestadores. (Por eso últimamente se cuestionan las encuestas que son 100% telefónicas a números fijos; quizá la población que sigue utilizando teléfonos fijos no es una muestra aleatoria del total de la población). 

Pero sigamos con las matemáticas. La fórmula (evito al lector el cómo se llega a ella, porque tampoco lo sé) que determina el tamaño de muestra (n) necesaria para garantizar un margen de error (e) y un nivel de confianza (directamente asociado a la desviación media que lo abarca, Z), con una probabilidad a favor (p) en una población finita (N) es:

Lo de la probabilidad a favor (p) despista bastante; sólo sirve cuando ya tenemos información previa sobre la p que va a resultar de la encuesta y nos sirve para acotar el tamaño de la muestra; normalmente se pone 0,5 y a correr.

Pero lo bonito de las matemáticas que hay detrás de esta fórmula es que, si suponemos una N suficientemente grande (como ya hemos dicho > 100.000) , la fórmula se simplifica muchísimo, y resulta:

Teniendo en cuenta que, para un nivel de confianza del 95% la desviación media, Z=1,96, podemos hacer el cálculo:  

n= (1,96*1,96*0,5*0,5) / (0,05*0,05) = 0,9604 / 0,0025 = 384,16 

O sea, que con una muestra aleatoria de 385 individuos, alcanzaríamos esta precisión.

Pero hay que entenderlo bien. En el caso electoral, esta muestra va unida a lo que sea la circunscripción electoral. En unas elecciones al Parlamento Europeo, donde la circunscripción electoral es única para toda España (sólo hay una lista por partido), bastaría encuestar a 385 personas en todo el territorio nacional para estimar la tendencia de voto. En el caso de unas elecciones generales, donde la circunscripción es provincial, habría que encuestar a 385 personas por provincia. En el caso de unas locales, ídem por Ayuntamiento (y sólo sería fiable para los grandes, los de más de 100.000 habitantes). 

Medidor de audiencia

Lo mismo pasa con los audímetros. En la actualidad, desde 2010, la empresa que tiene asignado este contrato en España es Kantar Media (www.kantarmedia.com/es) , sucesora de Ecotel y Sofres. Tiene instalados 4.625 audímetros en, nuevamente, hogares aleatorios pero representativos de los diferentes tipos de hogares que se dan en España. El que necesite más de 385 se debe, básicamente, a que hay muchos canales de cobertura autonómica cuyos datos necesitan ser discriminados. Creo que en España hay unos 18 millones de hogares censados, por lo que sólo le "toca" audímetro a 3 de cada  10.000. Normal que no conozcamos a nadie que lo tenga (además, hay un mito urbano, que no sé si es cierto, que, cuando te lo instalan, firmas un contrato de confidencialidad a cambio de una serie de ventajas, pero conociendo a este país...).

En resumen, si las muestras de las encuestas cumplen con las normas de la aleatoriedad, basta un número pequeño (385) para obtener resultados con un margen pequeño de error y un alto nivel de confianza. Así de curiosas son las matemáticas.