El rebaño del Sol

En agosto de 1773,  Gotthold Ephraim Lessing , bibliotecario de la Biblioteca Herzog August, en la ciudad de Wolfenbüttel, en la Baja Sajonia (Alemania), dio a conocer que había descubierto, en un poema de 44 líneas manuscrito en griego clásico, un curioso problema. El texto era el siguiente (traducción de Emilio Muñiz):

"Si eres diligente y sabio, oh extranjero, calcula el número de cabezas de ganado del Sol, que en un tiempo pastaba en los campos de la isla de Sicilia, dividido en cuatro rebaños de diferentes colores, uno blanco como la leche, otro negro brillante, un tercero amarillo y el último moteado. En cada rebaño había toros, en elevado número y según las siguientes proporciones:

1) comprende, extranjero, que los toros blancos representaban la mitad y un tercio de los negros junto a todos los amarillos, mientras que los toros negros equivalían a un cuarto más un quinto de los moteados, sumados, una vez más, a todos los amarillos.

2) observa también que el número de los toros restantes, los moteados, era igual a la sexta más la séptima parte de los blancos, añadidos a todos los amarillos.

3) Estas eran las proporciones de las vacas: el número de blancas era igual a un tercio más un cuarto de todo el rebaño negro; en tanto que el número de vacas negras era igual a la cuarta parte más la quinta parte de la suma de los toros moteados más las vacas moteadas cuando pastaban juntos.

4) El número de vacas moteadas de los cuatro rebaños, equivalía en número a la quinta parte más la sexta del rebaño amarillo.

5) Finalmente, las vacas amarillas equivalían a un sexto más un séptimo del rebaño blanco.

Pero escucha, también deberás tener en cuenta todas las condiciones que siguen respecto al ganado del Sol:

6) Cuando los toros blancos se mezclaban con los negros, permanecían firmes, idénticos a lo largo y a lo ancho, y las llanuras de Trinacia, que se extienden una gran distancia en todas las direcciones, se colmaban con esta multitud.

7) Luego, cuando los toros amarillos y los moteados se reunieron en una sola manada, permanecieron de tal modo que su número, que empezaba en uno, iba creciendo lentamente hasta completar una figura triangular, sin que hubiera toros de los demás colores mezclados ni faltara ninguno de éstos.

Si tu habilidad alcanza, oh extranjero, de averiguar todas estas cosas y reunirlas en tu mente, proporcionándoles todas las relaciones, saldrás coronado y glorioso, sabiendo que se te ha juzgado perfecto en esta clase de sabiduría".

Hasta aquí el enunciado del problema. 

El rebaño del Sol aparece mencionado en el Canto I de La Odisea: "Háblame, Musa, de aquel varón de multiforme ingenio que, después de destruir la sacra ciudad de Troya, anduvo peregrinando larguísimo tiempo, vio las poblaciones y conoció las costumbres de muchos hombres y padeció en su ánimo gran número de trabajos en su navegación por el Ponto, en cuanto procuraba salvar su vida y la vuelta de sus compañeros a la patria. Mas ni aun así pudo librarlos, como deseaba, y todos perecieron por sus propias locuras. ¡Insensatos! Comiéronse las vacas del Sol, hijo de Hiperión; el cual no permitió que les llegara el día del regreso. ¡Oh diosa, hija de Júpiter!: cuéntanos aunque no sea más que una parte de tales cosas".

Trinacia, símbolo de Sicilia

El texto del poema, y por tanto el problema, se le atribuyó a Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.), que lo habría enviado a Eratóstenes de Cirene, a la escuela de Alejandría, se supone que para poner a prueba a los sabios de allí. (Siracusa estaba en Sicilia, y Trinacia, que es la isla de Helios en La Odisea, era el nombre por el que se conocía a Sicilia en la antigüedad, haciendo referencia a las tres puntas de la isla).

La solución no es fácil; al contrario, es muy difícil, y hay dudas fundadas de que Arquímedes lo resolviera en su totalidad. De hecho, una primera solución, aproximada, no se publicó hasta 100 años después del descubrimiento del manuscrito, en 1880, por el matemático alemán Carl E. August Amthor. 

La primera parte (condiciones 1 a 5) es fácil plantearla como un conjunto de ecuaciones:

Si B=nº de toros blancos, N=negros, M=moteados y A=amarillos; y b=nº de vacas blancas, n=negras, m=moteadas y a=amarillas, podemos formular las ecuaciones del siguiente modo:

1) B= (1/2 + 1/3)N + A = (5/6)N + A 

    N= (1/4 + 1/5)M + A = (9/20)M + A

2) M= (1/6 + 1/7)B + A = (13/42)B + A

3) b= (1/3 + 1/4)(N+n) = (7/12)(N+n) (Ojo, que es "todo el rebaño negro": N+n)

     n= (1/4 + 1/5)(M+m) = (9/20)(M+m)

4) m= (1/5 + 1/6)(A+a) = (11/30)(A+a)

5) a= (1/6 + 1/7)(B+b) = (13/42)(B+b)

Son 7 ecuaciones con 8 incógnitas. Como la solución que se busca tienen que ser números enteros (no vale medio toro ni un cuarto de vaca), se llaman "ecuaciones diofánticas". Hay infinitas soluciones (esas cosas que tienen las Matemáticas), pero la que tiene menores números enteros es la siguiente (no, yo no sería capaz de calcularla; la he copiado directamente):

N=  7.460.514 
B=10.366.482 
M= 7.358.060 
A=  4.149.387 
n=  4.893.246 
b=  7.206.360 
m= 3.515.820 
a=  5.439.213

O sea, un total de 50.389.082 animales. Bonito rebaño. Pero nos falta añadir las dos condiciones finales:

Que la suma de toros blancos y negros sea un cuadrado perfecto se traduce en que hay un número, que podemos llamar c, para el que (B+N)=c2

Que la suma de toros amarillos y moteados sea un "número triangular" quiere decir que hay otro número, que podemos llamar t, para el que (A+M)= t(t+1)/2

(Paréntesis: con esta imagen te haces una idea de lo que son los números triangulares:

Se ve que, por ejemplo, T4=(4*(4+1))/2=10 ; T5=(5*(5+1))/2=15

Y que la serie seguiría así: ...21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210,...

Y la fórmula general es  Tn=n(n+1)/2

Cierro paréntesis)

Resulta que, al añadir estas dos ecuaciones al problema, la solución se complica de forma brutal. Tanto que, el mencionado Amthor, se limitó a demostrar que 1) la solución existía y 2) que tenía un valor aproximado de  7,76 * 10E206.544 , es decir un número de 206.544 cifras. Que no está mal para la época...

Fue en 1981 cuando, utilizando la potencia computacional de un super-ordenador CRAY-1, el matemático americano Harry L. Nelson pudo obtener los dígitos reales del menor número total de animales para el rebaño del Sol. El proceso tardó 10 minutos. Estos son los primeros 60 dígitos:

7,76027140648681826953023283321388666423232240592337610315062 * 10E206.544 

Vuelvo a la pregunta: ¿Pudo Arquímedes resolver este problema? Parece claro que, si hablamos del valor concreto anterior, no es factible que lo pudiera llegar a calcular. Ahora bien, quizá sí que pudo intuir, e incluso demostrar, que existía una solución.

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Esta idea me recuerda una demostración matemática que, a priori, parece muy complicada:

Teorema de Euclides: "El número de números primos es infinito"

Pero que, utilizando la técnica de "reducción al absurdo", es fácil:

Supongamos que no; que sólo hay N números primos: p1, p2, p3,... pN

Si los multiplicamos todos y le sumamos 1, tenemos un nuevo número:

P=(p1*p2*p3*...*pN)+1 La pregunta es: ¿Es P un número primo o no lo es?

Si suponemos que P no es primo, tiene que ser divisible por, al menos, un número primo. Pero no puede ser ninguno de la "teórica" lista completa que hemos usado, porque le hemos sumado 1 al producto de todos ellos. Luego P tiene que ser primo, y ya tenemos uno más en la lista; repitiendo el procedimiento llegaríamos a una lista infinita de números primos.

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Hasta aquí el "divertimento matemático". Quien tenga conocimientos, ganas y paciencia (que no es mi caso) para entender la forma de llegar a la solución del problema del rebaño del Sol, la puede encontrar aquí. 

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